Примеры статей
Собственные значения
Собственные значения линейного преобразования или оператора А, числа l,длякоторых существует ненулевой вектор х такой, что Ах = lх; вектор х называется собственным вектором. Так, С. з…
Самосопряжённое дифференциальное уравнение
Самосопряжённое дифференциальное уравнение, уравнение, имеющее те же решения, что и сопряжённое с ним (см. Сопряжённые дифференциальные уравнения). Обыкновенное С. д. у. чётного порядка 2m имеет вид…
Фурье метод
Фурье метод, метод решения задач математической физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности Ж. Фурье и в полной общности сформулирован М. В…
Фурье интеграл
Фурье интеграл, формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f (x) удовлетворяет на каждом…
Ортогональные многочлены
Ортогональные многочлены, специальные системы многочленов {рп (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом r(х) на отрезке [а, b ] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система О. м…
Собственные векторы
Собственные векторы линейного преобразования, векторы, которые при этом преобразовании не меняют своего направления, а только умножаются на скаляр. Например, С. в. преобразования, составленного из…
Операторы
Операторы в квантовой теории, математическое понятие, широко используемое в математическом аппарате квантовой механики и квантовой теории поля и служащее для сопоставления определённому вектору…
Собственные функции
Собственные функции, понятие математического анализа. При решении многих задач математической физики (в теории колебаний, теплопроводности и т.д.) возникает необходимость в нахождении не равных тождественно нулю решений однородных линейных дифференциальных уравнений L (y) = lу, удовлетворяющих тем или иным краевым условиям. Такие решения называют С. ф. задачи, а соответствующие значения l — собственными значениями. Если дифференциальное уравнение с соответствующими краевыми условиями самосопряжённое (см. Самосопряжённое дифференциальное уравнение), то его собственные значения действительны, а С. ф., соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Если дифференциальное уравнение рассматривается на конечном отрезке и его коэффициенты не имеют на этом отрезке особенностей, то множество С. ф. счётно (задача имеет дискретный спектр); знание С. ф. и соответствующих собственных значений позволяет тогда при некоторых условиях получить решение задачи в виде ряда по С. ф. (см. Фурье метод). Если же уравнение рассматривается на бесконечном промежутке или его коэффициенты имеют особенности (например, если коэффициент при старшей производной обращается в нуль), может существовать континуум С. ф., и вместо разложения в ряд получается разложение в интеграл по С. ф., аналогичное представлению в виде Фурье интеграла. В этом случае говорят, что задача имеет непрерывный спектр. Многие специальные функции (ортогональные многочлены и др.) служат С. ф. некоторых уравнений.
В теории интегральных уравнений С. ф. ядра К (х, у) называют функцию, удовлетворяющую при некотором значении l уравнению
.
Всякое симметрическое непрерывное ядро имеет С. ф. В этом случае всякая функция, представимая в виде
,
может быть разложена в ряд по С. ф. Если ядро имеет особенности или задано в бесконечной области, то может также возникнуть непрерывный спектр.
Наиболее общим образом С. ф. можно определить как собственные векторы линейных операторов в линейных функциональных пространствах. В квантовой механике С. ф. оператора, отвечающего какой-либо физической величине (см. Операторы в квантовой теории), соответствуют состояниям системы, в которых данная физическая величина имеет определённое значение.
Иногда С. ф. называют также фундаментальными функциями, характеристическими функциями и т.д.