Примеры статей
Цифры
Цифры (позднелат. cifra, от араб. сифр - нуль, буквально - пустой; арабы этим словом называли знак отсутствия разряда в числе), условные знаки для обозначения чисел. Наиболее ранней и вместе с тем…
Евклид
Евклид (Eukleides), древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биография, сведения об Е. крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что…
Архимед
Архимед (Archimedes; около 287 - 212 до н. э.), древнегреческий учёный, математик и механик. Развил методы нахождения площадей поверхностей и объёмов различных фигур и тел. Его математические работы…
Брахмагупта
Брахмагупта, Брамагупта (ок. 598-660), индийский математик и астроном. До нас дошло сочинение. Б. "Пересмотр системы Брахмы" (628), значительная часть которого посвящена арифметике и алгебре. В нём…
Шюке Никола
Шюке (Chuquet) Никола, французский математик 15 в. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре "Наука о числах" ("Triparty en la science des nombres", 1484, изд. Rome, 1881), где он ввёл в…
Пачоли Лука
Пачоли (Pacioli) Лука (родился около 1445 - умер позже 1509), итальянский математик. Преподавал математику. В 1494 издал труд "Summa de arithmetica, geometria proportioni et proportionalita"…
Бомбелли Раффаэле
Бомбелли (Bombelli) Раффаэле (около 1530-1572), итальянский математик и инженер. В "Алгебре" Б. (1572) дано первое изложение простейших правил действий над комплексными величинами и их применение к…
Тарталья Никколо
Тарталья (Tartaglia) Никколо (около 1499, Бреша, - 13 или 14.12.1557, Венеция), итальянский математик. Труды посвящены вопросам математики, механики, баллистики, геодезии, фортификации и др. В…
Виет Франсуа
Виет, Вьет (Vieete) Франсуа (1540, Фонтене-ле-Конт, - 13.12.1603, Париж), французский математик. По профессии юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для…
Декарт Рене
Декарт (Descartes) Рене (латинизированное имя - Картезий; Renatus Cartesius) [31.3.1596, Лаэ (Турень), - 11.2.1650, Стокгольм], французский философ и математик. Происходил из старинного дворянского…
Ньютон Исаак
Ньютон (Newton) Исаак (4.1.1643, Вулсторп, около Граптема, - 31.3.1727, Кенсингтон), английский физик и математик, создавший теоретические основы механики и астрономии, открывший закон всемирного…
Валлис Джон
Валлис, Уоллис (Wallis) Джон (23.11.1616, Ашфорд, Кент, - 28.10.1703, Оксфорд), английский математик. С 1649 профессор геометрии Оксфордского университета. Один из основателей (1662) Лондонского…
Лейбниц Готфрид Вильгельм
Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1.7.1646, Лейпциг, - 14.11.1716, Ганновер), немецкий философ-идеалист, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. Изучал юриспруденцию и философию…
Эйлер Леонард
Эйлер (Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, - 7(18).9.1783, Петербург], математик, механик и физик. Род. в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (…
Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм
Вейерштрасс (Weierstra?) Карл Теодор Вильгельм (31.10.1815, Остенфельде, - 19.2.1897, Берлин), немецкий математик. Изучал юридические науки в Бонне и математику в Мюнстере. Профессор Берлинского…
Коши Огюстен Луи
Коши (Cauchy) Огюстен Луи (21.8. 1789, Париж, - 23.5.1857, Со), французский математик, член Парижской АН (1816). Окончил Политехническую школу (1807) и Школу мостов и дорог (1810) в Париже. В 1810-13…
Кэли Артур
Кэли, Кейли (Cayley) Артур (16.8.1821, Ричмонд, - 26.1.1895, Кембридж), английский математик. С 1863 профессор Кембриджского университета. Основные работы по теории алгебр, квадратичных форм…
Алгебра логики
Алгебра логики, раздел математической. логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними. А. л. возникла в…
Знаки математические
Знаки математические, условные обозначения, предназначенные для записи математических понятий, предложений и выкладок. Например,
(квадратный корень из двух), 3 > 2 (три больше двух) и т.п.
Развитие математической символики было тесно связано с общим развитием понятий и методов математики. Первыми З. м. были знаки для изображения чисел — цифры, возникновение которых, по-видимому, предшествовало письменности. Наиболее древние системы нумерации — вавилонская и египетская — появились ещё за 31/2 тысячелетия до н. э.
Первые З. м. для произвольных величин появились много позднее (начиная с 5—4 вв. до н. э.) в Греции. Величины (площади, объёмы, углы) изображались в виде отрезков, а произведение двух произвольных однородных величин — в виде прямоугольника, построенного на соответствующих отрезках. В "Началах" Евклида (3 в. до н. э.) величины обозначаются двумя буквами — начальной и конечной буквами соответствующего отрезка, а иногда и одной. У Архимеда (3 в. до нашей эры) последний способ становится обычным. Подобное обозначение содержало в себе возможности развития буквенного исчисления. Однако в классической античной математике буквенного исчисления создано не было.
Начатки буквенного изображения и исчисления возникают в позднеэллинистическую эпоху в результате освобождения алгебры от геометрической формы. Диофант(вероятно, 3 в.) записывал неизвестную (х) и её степени следующими знаками:
[ — от греческого термина dunamiV (dynamis — сила), обозначавшего квадрат неизвестной, — от греческого cuboV (k_ybos) — куб]. Справа от неизвестной или её степеней Диофант писал коэффициенты, например 3х5 изображалось
(где = 3). При сложении Диофант приписывал слагаемые друг к другу, для вычитания употреблял специальный знак ; равенство Диофант обозначал буквой i [от греческого isoV (isos) — равный]. Например, уравнение
(x3 + 8x) — (5x2 + 1) = х
у Диофанта записалось бы так:
(здесь
означает, что единица не имеет множителя в виде степени неизвестного).
Несколько веков спустя индийцы ввели различные З. м. для нескольких неизвестных (сокращения наименований цветов, обозначавших неизвестные), квадрата, квадратного корня, вычитаемого числа. Так, уравнение
3х2 + 10x — 8 = x2 + 1
в записи Брахмагупты (7 в.) имело бы вид:
йа ва 3 йа 10 ру 8
йа ва 1 йа 0 ру 1
(йа — от йават — тават — неизвестное, ва — от варга — квадратное число, ру — от рупа — монета рупия — свободный член, точка над числом означает вычитаемое число).
Создание современной алгебраической символики относится к 14—17 вв.; оно определялось успехами практической арифметики и учения об уравнениях. В различных странах стихийно появляются З. м. для некоторых действий и для степеней неизвестной величины. Проходят многие десятилетия и даже века, прежде чем вырабатывается тот или иной удобный символ. Так, в конце 15 и. Н. Шюке и Л. Пачоли употребляли знаки сложения и вычитания
(от лат. plus и minus), немецкие математики ввели современные + (вероятно, сокращение лат. et) и —. Ещё в 17 в. можно насчитать около десятка З. м. для действия умножения.
Различны были и З. м. неизвестной и её степеней. В 16 — начале 17 вв. конкурировало более десяти обозначений для одного только квадрата неизвестной, например се (от census — латинский термин, служивший переводом греческого dunamiV, Q (от quadratum), , A (2), , Aii, aa, a2 и др. Так, уравнение
x3 + 5x = 12
имело бы у итальянского математика Дж. Кардано (1545) вид:
у немецкого математика М. Штифеля (1544):
у итальянского математика Р. Бомбелли (1572):
французского математика Ф. Виета (1591):
у английского математика Т. Гарриота (1631):
В 16 и начале 17 вв. входят в употребление знаки равенства и скобки: квадратные (Р. Бомбелли, 1550), круглые (Н. Тарталья, 1556), фигурные (Ф. Виет, 1593). В 16 в. современный вид принимает запись дробей.
Значительным шагом вперёд в развитии математической символики явилось введение Виетом (1591) З. м. для произвольных постоянных величин в виде прописных согласных букв латинского алфавита В, D, что дало ему возможность впервые записывать алгебраические уравнения с произвольными коэффициентами и оперировать ими. Неизвестные Виет изображал гласными прописными буквами А, Е,... Например, запись Виета
[cubus — куб, planus — плоский, т. е. В — двумерная величина; solidus — телесный (трёхмерный), размерность отмечалась для того, чтобы все члены были однородны] в наших символах выглядит так:
x3 + 3bx = d.
Виет явился творцом алгебраических формул. Р. Декарт(1637) придал знакам алгебры современный вид, обозначая неизвестные последними буквами лат. алфавита х, у, z, а произвольные данные величины — начальными буквами а, b, с. Ему же принадлежит нынешняя запись степени. Обозначения Декарта обладали большим преимуществом по сравнению со всеми предыдущими. Поэтому они скоро получили всеобщее признание.
Дальнейшее развитие З. м. было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики которого основа была уже в большой мере подготовлена в алгебре.
Даты возникновения некоторых математических знаков
знак
значение
Кто ввёл
Когда введён
Знаки индивидуальных объектов¥
бесконечность
Дж. Валлис
1655
e
основание натуральных логарифмов
Л. Эйлер
1736
p
отношение длины окружности к диаметру
У. Джонс
Л. Эйлер
1706
1736
i
корень квадратный из -1
Л. Эйлер
1777 (в печати 1794)
i j k
единичные векторы, орты
У. Гамильтон
1853
П (а)
угол параллельности
Н.И. Лобачевский
1835
Знаки переменных объектовx,yan>
неизвестные или переменные величины
Р. Декарт
1637
r
вектор
О. Коши
1853
Знаки индивидуальных операций+
сложение
немецкие математики
Конец 15 в.
–
вычитание
´
умножение
У. Оутред
1631
×
умножение
Г. Лейбниц
1698
:
деление
Г. Лейбниц
1684
a2, a3,…, an
степени
Р. Декарт
1637
И. Ньютон
1676
корни
К. Рудольф
1525
А. Жирар
1629
Log
логарифм
И. Кеплер
1624
log
Б. Кавальери
1632
sin
синус
Л. Эйлер
1748
cos
косинус
tg
тангенс
Л. Эйлер
1753
arc.sin
арксинус
Ж. Лагранж
1772
Shгиперболический синус
В. Риккати1757
Chгиперболический косинус
dx, ddx, …
дифференциал
Г. Лейбниц
1675 (в печати 1684)
d2x, d3x,…
интеграл
Г. Лейбниц
1675 (в печати 1686)
производная
Г. Лейбниц
1675
¦¢x
производная
Ж. Лагранж
1770, 1779
y’
¦¢(x)
Dx
разность
Л. Эйлер
1755
частная производная
А. Лежандр
1786
определённый интеграл
Ж. Фурье
1819-22
S
сумма
Л. Эйлер
1755
П
произведение
К. Гаусс
1812
!
факториал
К. Крамп
1808
|x|
модуль
К. Вейерштрасс
1841
lim
предел
У. Гамильтон,
многие математики
1853,
начало 20 в.
lim
n = ¥
lim
n ® ¥
x
дзета-функция
Б. Риман
1857
Г
гамма-функция
А. Лежандр
1808
В
бета-функция
Ж. Бине
1839
D
дельта (оператор Лапласа)
Р. Мёрфи
1833
Ñ
набла (оператор Гамильтона)
У. Гамильтон
1853
Знаки переменных операцийjx
функция
И. Бернули
1718
fn>x)
Л. Эйлер
1734
Знаки индивидуальных отношений=
равенство
Р. Рекорд
1557
&an;>
больше
Т. Гарриот
1631
&an;>
меньше
º
сравнимость
К. Гаусс
1801
||
параллельность
У. Оутред
1677
^
перпендикулярность
П. Эригон
1634
И. Ньютон в своём методе флюксий и флюент (1666 и следующие гг.) ввёл знаки для последовательных флюксий (производных) величины (в виде
и для бесконечно малого приращения o. Несколько ранее Дж. Валлис (1655) предложил знак бесконечности ¥.
Создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений является Г. Лейбниц. Ему, в частности, принадлежат употребляемые ныне З. м. дифференциалов
dx, d 2x, d 3x
и интеграла
Огромная заслуга в создании символики современной математики принадлежат Л. Эйлеру. Он ввёл (1734) в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак функции f (x)(от лат. functio). После работ Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный характер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е (основание натуральных логарифмов, 1736), p [вероятно, от греческого perijereia (periphereia) — окружность, периферия, 1736], мнимой единицы
(от французского imaginaire — мнимый, 1777, опубликовано в 1794).
В 19 в. роль символики возрастает. В это время появляются знаки абсолютной величины |x| (К. Вейерштрасс, 1841), вектора (О. Коши, 1853), определителя
(А. Кэли, 1841) и др. Многие теории, возникшие в 19 в., например Тензорное исчисление, не могли быть развиты без подходящей символики.
Наряду с указанным процессом стандартизации З. м. в современной литературе весьма часто можно встретить З. м., используемые отдельными авторами только в пределах данного исследования.
С точки зрения математической логики, среди З. м. можно наметить следующие основные группы: А) знаки объектов, Б) знаки операций, В) знаки отношений. Например, знаки 1, 2, 3, 4 изображают числа, т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения + сам по себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержание, когда указано, какие числа складываются: запись 1 + 3 изображает число 4. Знак > (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает вполне определённое содержание, когда указано, между какими объектами отношение рассматривается. К перечисленным трём основным группам З. м. примыкает четвёртая: Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания основных знаков. Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указывающие порядок производства действий.
Знаки каждой из трёх групп А), Б) и В) бывают двух родов: 1) индивидуальные знаки вполне определённых объектов, операций и отношений, 2) общие знаки "неременных", или "неизвестных", объектов, операций и отношений.
Примеры знаков первого рода могут служить (см. также таблицу):
A1) Обозначения натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентных чисел е и p; мнимой единицы i.
Б1) Знаки арифметических действий +, —, ·, ´,:; извлечения корня , дифференцирования
знаки суммы (объединения) È и произведения (пересечения) Ç множеств; сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и т.п.
B1) Знаки равенства и неравенства =, >, <, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Знаки второго рода изображают произвольные объекты, операции и отношения определённого класса или объекты, операции и отношения, подчинённые каким-либо заранее оговорённым условиям. Например, при записи тождества (a + b)(a — b) = a2 — b2 буквы а и b обозначают произвольные числа; при изучения функциональной зависимости у = х2 буквы х и у — произвольные числа, связанные заданным отношением; при решении уравнения
x2 — 1 = 0
х обозначает любое число, удовлетворяющее данному уравнению (в результате решения этого уравнения мы узнаём, что этому условию соответствуют лишь два возможных значения +1 и —1).
С логической точки зрения, законно такого рода общие знаки называть знаками переменных, как это принято в математической логике, не пугаясь того обстоятельства, что "область изменения" переменного может оказаться состоящей из одного единственного объекта или даже "пустой" (например, в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами такого рода знаков могут служить:
A2) Обозначения точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрических фигур буквами в геометрии.
Б2) Обозначения f, F, j для функций и обозначения операторного исчисления, когда одной буквой L изображают, например, произвольный оператор вида:
Обозначения для "переменных отношений" менее распространены, они находят применение лишь в математической логике (см. Алгебра логики) и в сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических, математических исследованиях.
Лит.: Cajori F., A history of mathematical notations, v. 1—2, Chi., 1928—29.