Примеры статей
Квадратичный вычет
Квадратичный вычет, понятие теории чисел. К. в. по модулю m - число а, для которого сравнение x2 o а (mod m) имеет решение: при некотором целом х число x2-a делится на m; если это сравнение не имеет…
Степенной вычет
Степенной вычет, или вычет степени n по модулю m (n - целое число, большее единицы, m - целое число). Такое число а, для которого сравнение xn - а (modm) разрешимо. В частности, при n = 2 С. в…
Кольцо алгебраическое
Кольцо алгебраическое, одно из основных понятий современной алгебры. Простейшими примерами К. могут служить указанные ниже системы (множества) чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и…
Идеал (алгебраич. понятие)
Идеал (математический), одно из основных алгебраических понятий. Возникнув первоначально в связи с изучением алгебраических иррациональных чисел, И. нашли впоследствии многочисленные применения в…
Сравнение (матем.)
Сравнение (математическое), соотношение между двумя целыми числами а и b, означающее, что разность а — b этих чисел делится на заданное целое число т, называемое модулем С.; пишется а º b (mod т). Например, 2 º 8 (mod 3), т. к. 2—8 делится на 3. С. обладают многими свойствами, аналогичными свойствам равенств. Например, слагаемое, находящееся в одной части С., можно перенести с обратным знаком в другую часть, т. е. из a + b º с (mod т) следует, что а º с — b (mod т). С. с одним и тем же модулем можно складывать, вычитать и умножать, т. е. из а º b (mod т) и с º d (mod т) следует, что а + с º b + d (mod т), а — с º b—d (mod т), ас º bd (mod т). Далее, обе части С. можно умножать на одно и то же целое число, обе части С. можно разделить на их общий делитель, если последний взаимно прост с модулем. Если же общий наибольший делитель числа, на которое делят обе части С., и модуля т есть d, то после деления получают С. по модулю m/d. В теории чисел рассматриваются методы решения различных С., т. е. методы отыскания целых чисел, удовлетворяющих С. того или иного вида. Если число х является решением некоторого С. по модулю т, то любое число вида х + km (k — целое число) также является решением этого С. Совокупность чисел вида х + km (k = ...,—1, 0,1,...) называется классом по модулю т. Решения С. по модулю т, принадлежащие к одному и тому же классу по модулю т, не считаются различными, так что числом решений С. по модулю т называется число решений, принадлежащих к различным классам по модулю т. С. первой степени с одним неизвестным всегда может быть приведено к виду ax º b (modm). Оно не имеет решений, если b не делится на общий наибольший делитель а и т, который обозначим d, и имеет d решений, если b делится на d. Теория квадратичных вычетов и степенных вычетов по модулю т есть теория С. вида соответственно x2 º a (mod т) и xn º a (mod т). Понятие С. для целых чисел может быть обобщено, а именно: можно говорить о сравнимости двух элементов кольца по идеалу.
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953.