Примеры статей
Гипергеометрические функции
Гипергеометрические функции, аналитические функции, определяемые для |z|<1c помощью гипергеометрического ряда. Название "Г. ф." было дано Дж. Валлисом (1650). Г. ф. являются интегралами…
Цилиндрические функции
Цилиндрические функции, весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций, являющихся решениями дифференциального уравнения: (1) где n - произвольный параметр. К…
Сферические функции
Сферические функции, специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями, и для решения физических задач, обладающих…
Шаровые функции
Шаровые функции, однородные функции un степени п от прямоугольных координат х, у, z, удовлетворяющие уравнению Лапласа: Существуют 2n + 1 линейно-независимых однородных многочленов от х, у, z целой…
Ламе функции
Ламе функции, функции, применяемые при изучении физических явлений (распределение тепла, движение жидкости и т. п.) в областях, ограниченных поверхностью эллипсоида. Л. ф. L (l) являются простейшими…
Матьё функции
Матьё функции, специальные функции, введённые французским математиком Э. Матье (E. Mathieu) в 1868 при решении задач о колебании эллиптической мембраны. М. ф. применяются также при изучении…
Трансцендентные функции
Трансцендентные функции,аналитические функции, не являющиеся алгебраическими (см. Алгебраические функции). Простейшими примерами Т. ф. служат показательная функция, тригонометрические функции…
Эллиптические функции
Эллиптические функции, функции, связанные с обращением эллиптических интегралов. Э. ф. применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных…
Гамма-функция
Гамма-функция [Г-функция, Г (х)], одна из важнейших специальных функций, обобщающая понятие факториала; для целых положительных n равна Г (n) = (n - 1)! = 1-2... (n - 1). Впервые введена Л. Эйлером в…
Дзета-функция
Дзета-функция, 1) аналитическая функция комплексного переменного s = s + it, определяемая при s> 1 формулой Эту функцию для действительных s ввёл в математический анализ Л. Эйлер (1737), а для…
Интегральный логарифм
Интегральный логарифм, специальная функция, определяемая интегралом Этот интеграл не выражается в конечной форме через элементарные функции. Если х > 1, то интеграл понимается в смысле главного…
Интеграл вероятности
Интеграл вероятности, название нескольких связанных друг с другом специальных функций. Интеграл называют интегралом вероятности Гаусса. Для случайной величины X, имеющей нормальное распределение с…
Специальные функции
Специальные функции (математические), функции различных специальных классов, особенно часто встречающиеся при решении задач математмческой физики. Основными С. ф. являются решениями линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Важнейшие С. ф.: гипергеометрические функции, цилиндрические функции, сферические функции, шаровые функции, Ламе функции, Матьё функции и др. Иногда к С. ф. относят также не выражающиеся через элементарные функции трансцендентные функции, важнейшими примерами которых являются эллиптические функции, гамма-функция, дзета-функция, интегральный логарифм, интеграл вероятности и др.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М.,1969; Уиттекер Е. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М.,1963; Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М.,1968 (лит.).