Примеры статей
Вероятностей теория
Вероятностей теория, математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми. Утверждение о том…
Бернулли теорема
Бернулли теорема, одна из важнейших теорем теории вероятностей; является простейшим случаем т. н. закона больших чисел (см. Больших чисел закон). Б. т. была впервые опубликована в труде Я. Бернулли "…
Лапласа теорема
Лапласа теорема, простейшая из предельных теорем теории вероятностей, относящаяся к распределению отклонений частоты появления события при независимых испытаниях от его вероятности. В общем виде эта…
Пуассон Симеон Дени
Пуассон (Poisson) Симеон Дени (21.6.1781, Питивье, департамент Луара, - 25.4.1840, Париж), французский учёный, член Парижской АН (1812), почётный член Петербургской АН (1826). По окончании в 1800…
Больших чисел закон (математич.)
Больших чисел закон, общий принцип, в силу которого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая…
Математическое ожидание
Математическое ожидание, среднее значение, одна из важнейших характеристик распределения вероятностей случайной величины. Для случайной величины X, принимающей последовательность значений y1, y2…
Дисперсия
Дисперсия (от лат. dispersio - рассеяние), в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. В статистическом понимании Д…
Чебышев Пафнутий Львович
Чебышев (произносится Чебышёв) Пафнутий Львович [14(26).5.1821, с. Окатово Калужской губернии, ныне Калужской области, - 26.11(8.12).1894, Петербург], русский математик и механик; адъюнкт (1853), с…
Больших чисел закон (математич.)
Больших чисел закон, общий принцип, в силу которого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая…
Марков Андрей Андреевич (русский математик)
Марков Андрей Андреевич [2(14).6.1856, Рязань, - 20.7.1922, Петроград], русский математик, специалист по теории чисел, теории вероятностей и математическому анализу. С 1886 адъюнкт Петербургской АН, с…
Колмогоров Андрей Николаевич
Колмогоров Андрей Николаевич [р.12(25).4.1903, Тамбов], советский математик, академик АН СССР (1939), Герой Социалистического Труда (1963). Окончил Московский университет (1925), с 1931 профессор там…
Хинчин Александр Яковлевич
Хинчин Александр Яковлевич [7(19).7.1894, с. Кондрово, ныне Калужская область, - 18.11.1959, Москва), советский математик, член-корреспондент АН СССР (1939). Окончил Московский университет (1916), с…
Нормальное распределение
Нормальное распределение, одно из важнейших распределений вероятностей. Термин "Н. р." применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным…
Ляпунов Александр Михайлович
Ляпунов Александр Михайлович [25.5(6.6).1857, Ярославль, - 3.11.1918, Одесса], русский математик и механик, академик Петербургской АН (1901; член-корреспондент 1900). Ученик П. Л. Чебышева. В 1880…
Бернштейн Сергей Натанович
Бернштейн Сергей Натанович [22.2 (5.3). 1880, Одесса, - 26.10.1968, Москва], советский математик, академик АН СССР (1929; член-корреспондент 1924) и АН УССР (1925). В 1907-33 преподавал в Харьковском…
Феллер Уильям
Феллер (Feller) Уильям (Вильям) (7.7.1906, Загреб, - 14.1.1970, Нью-Йорк), американский математик, член Национальной АН США. Окончил Загребский университет (1925). Доктор философии Гёттингенского…
Лапласа теорема
Лапласа теорема, простейшая из предельных теорем теории вероятностей, относящаяся к распределению отклонений частоты появления события при независимых испытаниях от его вероятности. В общем виде эта…
Вариационный ряд
Вариационный ряд, последовательность каких-либо чисел, расположенная в порядке возрастания их величин. Например, В. р. чисел 1, -3, 8, 2 имеет вид -3, 1, 2, 8. Промежуток между крайними членами В. р…
Повторного логарифма закон
Повторного логарифма закон, одна из предельных теорем теории вероятностей, близкая по смыслу к закону больших чисел (см. Больших чисел закон). П. л. з. указывает при определённых условиях точный…
Предельные теоремы
Предельные теоремы теории вероятностей, общее название ряда теорем вероятностей теории, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Исторически первые П. т. — теорема Бернулли (1713) и теорема Лапласа (1812) — относятся к распределению отклонений частоты появления некоторого события Е при n независимых испытаниях от его вероятности р (0 < р < 1). Частотой называется отношение m/n, где m — число наступлений события Е при n испытаниях (точные формулировки см. в ст. Бернулли теорема и Лапласа теорема). С. Пуассон (1837) распространил эти теоремы на случай, когда вероятность pk наступления Е в k-м испытании может зависеть от k, описав предельное поведение при n ® ¥ распределения отклонений частоты m/n от среднего арифметического вероятностей pk (1 £ k £ n):
(см. Больших чисел закон). Если обозначить через Xk случайную величину, принимающую значение, равное единице при появлении события Е в k-м испытании, и значение, равное нулю при его непоявлении, то m можно представить в виде суммы
m = X1 + X2 +... + Xn,
что позволяет рассматривать перечисленные теоремы как частные случаи общих П. т., относящихся к суммам независимых случайных величин (закона больших чисел и центральной предельной теоремы).
X1, X2,..., Xn,... (*)
— какая-либо последовательность независимых случайных величин, sn — сумма первых n из них
sn = X1 + X2 +... + Xn,
An и B2n — соответственно математическое ожидание
An= Е sn = Е X1 + E X2 +... + Exn,
B2n= D sn -= D X1 +D X2 +... + Dxn,
суммы sn. Говорят, что последовательность (*) подчиняется закону больших чисел, если при любом e > 0 вероятность неравенства
стремится к нулю при n ® ¥.
Широкие условия приложимости закона больших чисел найдены впервые П. Л. Чебышевым (в 1867) (см. Больших чисел закон). Эти условия затем были обобщены А. А. Марковым (старшим). Вопрос о необходимых и достаточных условиях приложимости закона больших чисел был окончательно решен А. Н. Колмогоровым (1928). В случае, когда величины Xn имеют одну и ту же функцию распределения, эти условия, как показал А. Я. Хинчин (1929), сводятся к одному: величины Xn должны иметь конечные математические ожидания.
Центральная предельная теорема. Говорят, что к последовательности (*) применима центральная предельная теорема, если при любых z1 и z2 вероятность неравенства
z1Bn < sn — An < z2Bn
имеет пределом при n ® ¥ — величину
(см. Нормальное распределение). Довольно общие достаточные условия применимости центральной предельной теоремы были указаны Чебышевым (1887), но и в его доказательстве обнаружились пробелы, восполненные лишь позже Марковым (1898). Решение вопроса, близкое к окончательному, было получено А. М. Ляпуновым (1901). Точная формулировка теоремы Ляпунова такова: пусть
Cn = c1 + c2 +... + cn.
Если отношение стремится к нулю при n ® ¥, то к последовательности (*) применима центральная предельная теорема. Окончательное решение вопроса об условиях приложимости центральной предельной теоремы получено в основных чертах С. Н. Бернштейном (1926) и дополнено В. Феллером (1935).
Из др. направлений работ в области П. т. можно отметить следующие.
1) Начатые Марковым и продолженные Бернштейном и др. исследования условий приложимости закона больших чисел и центральной предельной теоремы к суммам зависимых величин.
2) Даже в случае последовательности одинаково распределённых случайных величин можно указать простые примеры, когда суммы имеют в пределе распределение, отличное от нормального (речь идёт о невырожденных распределениях, т. е. о распределениях, не сосредоточенных целиком в одной точке). В работах советских математиков А. Я. Хинчина, Б. В. Гнеденко, французских математиков П. Леви, В. Дёблина и др. полностью изучены как класс возможных предельных распределении для сумм независимых случайных величин, так и условия сходимости распределений сумм к тому или иному предельному распределению.
3) Значительное внимание уделяется т. н. локальным П. т. Пусть, например, величины Xn принимают лишь целые значения. Тогда суммы sn принимают также только целые значения и естественно поставить вопрос о предельном поведении вероятностей Pn (m) того, что sn = m (где m — целое). Простейшим примером локальной П. т. может служить локальная теорема Лапласа (см. Лапласа теорема).
4) П. т. в их классической постановке описывают поведение отдельной суммы sn с возрастанием номера n. Достаточно общие П. т. для вероятностей событий, зависящих сразу от нескольких сумм, получены впервые Колмогоровым (1931). Так, например, из его результатов следует, что при весьма широких условиях вероятность неравенства
имеет пределом величину
(z > 0)
5) Перечисленные выше П, т. относятся к суммам случайных величин. Примером П. т. иного рода могут служить П. т. для членов вариационного ряда. Эти П. т. подробно изучены советскими математиками Б. В. Гнеденко и Н. В. Смирновым.
6) Наконец, к П. т. относят также и теоремы, устанавливающие свойства последовательностей случайных величин, имеющие место с вероятностью, равной единице (см., например, Повторного логарифма закон).
Лит.: Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М. — Л., 1949; Ибрагимов И. А., Линник Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы, 2 изд., М., 1973.
Ю. В. Прохоров.