Примеры статей
Логические операции
Логические операции, логические связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов, содержащие переменные и обращающиеся в…
Логика высказываний
Логика высказываний, раздел математической логики, посвященный изучению логических форм сложных высказываний, образованных из элементарных высказываний с помощью связок, аналогичных союзам "и", "или"…
Алгебра логики
Алгебра логики, раздел математической. логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними. А. л. возникла в…
Исчисление
Исчисление, основанный на чётко сформулированных правилах формальный аппарат оперирования со знаками определённого вида, позволяющий дать исчерпывающе точное описание некоторого класса задач, а для…
Интерпретация (объяснение)
Интерпретация (лат. interpretatio), истолкование, объяснение, разъяснение. 1) В буквальном понимании термин "И." употребляется в юриспруденции (например, И. закона адвокатом или судьей - это "перевод"…
Семантика
Семантика (франц. semantique, от греч. semantikos - обозначающий, sema - знак) в языкознании, 1) один из аспектов изучения знаков в семиотике. 2) В истории языкознания то же, что семасиология. 3)…
Метаматематика
Метаматематика, теория доказательств, теория доказательства, в широком смысле слова - метатеория математики, не предполагающая никаких специальных ограничений на характер используемых…
Исчисление предикатов
Исчисление предикатов, раздел математической логики - совокупность логико-математических исчислений, формализующих те разделы современной логики, в которых отображаются и изучаются (в связи с…
Группа (матем.)
Группа, одно из основных понятий современной математики. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства действий, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях (примеры таких действий -…
Топологическое пространство
Топологическое пространство, множество, состоящее из элементов любой природы, в котором тем или иным способом определены предельные соотношения. Предельные соотношения, наличие которых превращает…
Гёдель Курт
Гёдель (Godel) Курт [р. 28.4.1906, Брюнн (Брно)], австрийский логик и математик. В 1933-38 приват-доцент Венского университета. В 1940 эмигрировал в США; с 1953 профессор института перспективных…
Аксиоматическая теория множеств
Аксиоматическая теория множеств, формулировка множеств теории в виде формальной (аксиоматической) системы (см. Аксиоматический метод). Основным побудительным стимулом для построения А. т. м. явилось…
Непротиворечивость
Непротиворечивость, совместимость, свойство дедуктивной теории (или системы аксиом, посредством которых теория задаётся), состоящее в том, что из неё нельзя вывести противоречие, т. е. какие-либо два…
Аксиоматический метод
Аксиоматический метод, способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) - аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой…
Доказательство
Доказательство в логике, процесс (метод) установления истины, обоснование истинности суждения. В соответствии с различными возможными аспектами и уровнями рассмотрения и употребления понятий "истина"…
Полнота
Полнота, свойство научной теории, характеризующее достаточность для каких-либо определённых целей её выразительных и (или) дедуктивных средств.
Один из аспектов понятия П. — т. н. функциональная П. (ф. п.) — применительно к естественному языку представляет собой то (неформальное) его качество, благодаря которому на нём можно сформулировать любое осмысленное сообщение, могущее понадобиться для тех или иных целей. Например, английский язык функционально полон с точки зрения целей, которые имел в виду У. Шекспир, создавая "Гамлета" (если исходить из предположения, что ему удалось полностью реализовать свой замысел). Но и любой другой из "живых" языков, на который "Гамлет" переведён, полон в том же смысле: перевод как раз и служит свидетельством этой ф. п.
Аналогично (в математике), семейство функций, принадлежащих некоторому классу функций, является полным относительно этого класса (и относительно некоторого фиксированного запаса "допустимых" операций над функциями), если любую функцию этого класса можно выразить через функции данного семейства (с помощью допустимых операций). Так, любая из функций sinx или cosx составляет одноэлементный класс, полный для всех тригонометрических функций (относительно четырёх арифметических действий, возведения в квадрат и извлечения квадратного корня); три единичных вектора по осям координат образуют полный класс (относительно сложения, вычитания и умножения на действительное число) для множества всех векторов трёхмерного евклидова пространства.
Понятие ф. п. играет важную роль в математической логике: все двуместные логические операции исчисления высказываний (см. Логика высказываний) могут быть выражены через конъюнкцию и отрицание, или через дизъюнкцию и отрицание, или через импликацию и отрицание, или даже через единственную операцию антиконъюнкцию ("штрих Шеффера"), т. е. все эти семейства логических связок представляют собой функционально полные классы операций алгебры логики.
Для логики и её приложений к дедуктивным наукам не менее существенную роль играет т. н. дедуктивная П. (д. п.) аксиоматических теорий (или, что то же, положенных в их основу систем аксиом; эпитет "дедуктивная" обычно опускают). В зависимости от выбора критерия "достаточности" дедуктивных средств теории (или формального исчисления) приходят к той или иной точной модификации понятия д. п. Вообще аксиоматическая система называется (дедуктивно) полной по отношению к данному свойству (или данной интерпретации), если все её формулы, обладающие данным свойством (истинные при данной интерпретации), доказуемы в ней. Такое понятие д. п. ("в широком смысле"), связанное с понятием истинности, носит, очевидно, семантический (содержательный, см. Семантика) характер. Но в ряде случаев понятие д. п. удаётся определить чисто синтаксическим (формальным) путём и сделать предметом изучения метаматематическими (см. Метаматематика) средствами. Такая д. п. ("в узком смысле") определяется как невозможность присоединения к системе без противоречия никакой недоказуемой в ней формулы в качестве аксиомы; эта ("абсолютная") П., вообще говоря, сильнее семантической П.: например, исчисление предикатов, полное в широком смысле, в узком смысле неполно.
Неполные (или, как часто говорят, некатегоричные) системы аксиом, допускающие существенно различные и притом неизоморфные интерпретации (например, теория групп в абстрактной алгебре или теория топологических пространств), представляют особый интерес именно богатством и разнообразием своих приложений (это обусловливается различными путями "пополнения" теории за счёт присоединения различных аксиом). Но ещё более важно то, что (как установил в 1931 К. Гёдель) для достаточно богатых аксиоматических теорий (включающих формальную арифметику натуральных чисел и тем более аксиоматическую теорию множеств) требования д. п. и непротиворечивости оказываются несовместимыми. Это поразительное открытие составило целую эпоху в развитии математической логики, привело к осознанию принципиальной ограниченности играющего в ней большую роль аксиоматического метода и стимулировало поиски новых, более гибких в известном смысле, логических и логико-математических теорий и новых дедуктивных средств.
См. также ст. Доказательство и лит. при ней.
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, §§ 29 32, 42, 72 (лит.); Новиков П. С., Элементы математической логики, М. 1959 гл. 2, § 10, гл. 3, § 7, гл. 4, §§ 17, 19.