Примеры статей
Аксиома
Аксиома (греч. axioma - удостоенное, принятое положение, от axioo - считаю достойным), положение некоторой данной теории, которое при дедуктивном построении этой теории не доказывается в ней, а…
Моделей теория
Моделей теория, раздел математики, возникший при применении методов математической логики в алгебре. Ко 2-й половине 20 в. М. т. оформилась в самостоятельную дисциплину, методы и результаты которой…
Логика высказываний
Логика высказываний, раздел математической логики, посвященный изучению логических форм сложных высказываний, образованных из элементарных высказываний с помощью связок, аналогичных союзам "и", "или"…
Интерпретация (объяснение)
Интерпретация (лат. interpretatio), истолкование, объяснение, разъяснение. 1) В буквальном понимании термин "И." употребляется в юриспруденции (например, И. закона адвокатом или судьей - это "перевод"…
Множеств теория
Множеств теория, учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но…
Парадокс
Парадокс (от греч. paradoxes - неожиданный, странный), неожиданное, непривычное (хотя бы по форме) суждение (высказывание, предложение), резко расходящееся с общепринятым, традиционным мнением по…
Аксиоматическая теория множеств
Аксиоматическая теория множеств, формулировка множеств теории в виде формальной (аксиоматической) системы (см. Аксиоматический метод). Основным побудительным стимулом для построения А. т. м. явилось…
Гильберт Давид
Гильберт, Хильберт (Hilbert) Давид (23.1.1862, Велау, близ Кёнигсберга, - 14.2.1943, Гёттинген), немецкий математик. Окончил Кёнигсбергский университет, в 1893-95 профессор там же, в 1895-1930…
Формализация
Формализация, представление какой-либо содержательной области (рассуждений, доказательств, процедур классификации, поиска информации научных теорий) в виде формальной системы, или исчисления. Ф…
Формальная система
Формальная система, неинтерпретированное исчисление, класс выражений (формул) которого задаётся обычно индуктивно - посредством задания исходных ("элементарных", или "атомарных") формул и правил…
Метаматематика
Метаматематика, теория доказательств, теория доказательства, в широком смысле слова - метатеория математики, не предполагающая никаких специальных ограничений на характер используемых…
Гёдель Курт
Гёдель (Godel) Курт [р. 28.4.1906, Брюнн (Брно)], австрийский логик и математик. В 1933-38 приват-доцент Венского университета. В 1940 эмигрировал в США; с 1953 профессор института перспективных…
Полнота
Полнота, свойство научной теории, характеризующее достаточность для каких-либо определённых целей её выразительных и (или) дедуктивных средств. Один из аспектов понятия П. - т. н. функциональная П. (…
Аксиоматический метод
Аксиоматический метод, способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) - аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой…
Аксиоматический метод
Аксиоматический метод, способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) - аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой…
Метаматематика
Метаматематика, теория доказательств, теория доказательства, в широком смысле слова - метатеория математики, не предполагающая никаких специальных ограничений на характер используемых…
Непротиворечивость
Непротиворечивость, совместимость, свойство дедуктивной теории (или системы аксиом, посредством которых теория задаётся), состоящее в том, что из неё нельзя вывести противоречие, т. е. какие-либо два предложения А и Ø А, каждое из которых является отрицанием другого. Для широкого класса формальных теорий, включающих аксиому А & Ø А É В ("из противоречия следует любое утверждение"), Н. равносильна существованию в данной теории хотя бы одного недоказуемого предложения.
Н., необходимая для того чтобы система могла рассматриваться как описание некоторой "содержательной ситуации", отнюдь не гарантирует существования такой ситуации. Впрочем, для любой непротиворечивой системы аксиом в каждом случае могут быть указаны абстрактные модели; поэтому для представителей "классических" направлений в основаниях математики и логики (и тем более для представителей моделей теории) Н. служит если и не обоснованием "существования" описываемых аксиомами совокупностей абстрактных объектов, то, по крайней мере, достаточным основанием для содержательного рассмотрения и изучения таких объектов. Поскольку описываемая теорией "ситуация" лежит вне самой теории, данное выше понятие Н., которое можно назвать "внутренней" (иначе —синтаксической, или логической) Н., тесно связано с так называемой "внешней" (семантической) Н., заключающейся в недоказуемости в данной теории никакого предложения, противоречащего (в обычном содержательном смысле) фактам описываемой ею "действительности". Несмотря на эту связь, синтаксическая и семантическая Н. равносильны лишь для таких "бедных" логических теорий, как, например, исчисление высказываний (см. Логика высказываний); вообще же говоря, внутренняя Н. сильнее внешней. Роль отображаемой какой-либо конкретной теорией "действительности" может играть и некоторая другая дедуктивная теория, так что внешнюю Н. исходной теории можно понимать как её относительную Н., а указание системы соответствующих семантических правил перевода понятий, выражений и утверждений из второй теории в первую, дающее интерпретацию (модель) исходной теории, оказывается для неё доказательством относительной Н.
В классической математике источником построения моделей для таких доказательств служит в конечном счёте множеств теория. Однако обнаружение в теории множеств парадоксов (антиномий) обусловило потребность поиска новых, принципиально отличных от метода интерпретаций, методов доказательства Н., — в некотором смысле "абсолютных". (Такая потребность возникает и в силу несовпадения понятий внутренней и внешней Н.) Можно избрать и промежуточный путь, требуя абсолютное доказательство Н. только для аксиоматической теории множеств (к которой уже можно было бы сводить проблемы Н. конкретных математических теорий чисто теоретико-модельными средствами) или даже хотя бы для такого относительно простого её фрагмента, как формализованная арифметика натуральных чисел, так как средствами последней строится теоретико-множественный "универсум" (предметная область) основных разделов классической математики. Такой путь и избрал Д. Гильберт, предложивший широкую программу, в ходе выполнения которой обосновываемые теории, прежде всего, подвергались бы формализации, а полученные формальные системы (исчисления) исследовались бы на предмет их синтаксической Н. так называемыми финитными (т. е. содержательными, но не использующими сомнительных теоретико-множественных абстракций) средствами. Такие абсолютные доказательства Н. составили основное содержание развиваемой школой Гильберта метаматематики (теории доказательства). Но уже в 1931 К. Гёдель доказал принципиальную невыполнимость гильбертовой программы, а тем самым и ограниченность аксиоматического метода, в рамках которого для достаточно богатых формальных теорий требования Н. и полноты оказываются несовместимыми (подробнее см. Аксиоматический метод). Что же касается содержательных дедуктивных теорий (в том числе и математических), по отношению к которым требование полноты теряет смысл, то для них Н. по-прежнему остаётся важнейшим необходимым критерием осмысленности и практической приложимости.
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (имеется лит.). См. также лит. при статьях Аксиоматический метод, Метаматематика.
Ю. А. Гастев.