Примеры статей
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция,функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается y = lnx; (1) её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В…
Трансцендентное число
Трансцендентное число число (действительное или мнимое), не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Таким образом, Т. ч. противопоставляются алгебраическим числам…
Логарифмические таблицы
Логарифмические таблицы,таблицы логарифмов чисел; применяются для упрощения вычислений. Наиболее распространены таблицы десятичных логарифмов. Т. к. десятичные логарифмы чисел N и 10kN (при k целом)…
Архимед
Архимед (Archimedes; около 287 - 212 до н. э.), древнегреческий учёный, математик и механик. Развил методы нахождения площадей поверхностей и объёмов различных фигур и тел. Его математические работы…
Шюке Никола
Шюке (Chuquet) Никола, французский математик 15 в. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре "Наука о числах" ("Triparty en la science des nombres", 1484, изд. Rome, 1881), где он ввёл в…
Непер Джон
Непер, Нейпир (Napier) Джон (1550, Мерчистон-Касл, близ Эдинбурга, - 4.4.1617, там же), шотландский математик, изобретатель логарифмов. Учился в Эдинбургском университете. Основными идеями учения о…
Меркатор Николаус
Меркатор (Mercator) Николаус (около 1620, Эйтин, - 1687, Париж), немецкий математик, астроном и инженер; учился и работал в Копенгагене, около 1660 переехал в Лондон, где был избран членом…
Грегори Джеймс
Грегори (Gregory) Джеймс (1638, Абердин, - 1675, Эдинбург), шотландский математик и астроном, член Лондонского королевского общества (1668). Профессор университета в Сент-Андрусе (с 1669)…
Эйлер Леонард
Эйлер (Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, - 7(18).9.1783, Петербург], математик, механик и физик. Род. в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (…
Кеплер Иоганн
Кеплер (Kepler) Иоганн (27.12.1571, Вейль-дер-Штадт, Вюртемберг,-15. 11.1630, Регенсбург, Бавария), немецкий астроном, открывший законы движения планет. Родился в бедной протестантской семье. После…
Кавальери Бонавентура
Кавальери (Cavalieri) Бонавентура (1598, Милан, - 30.11.1647, Болонья), итальянский математик. Монах ордена иеронимитов. С 1629 по рекомендации Г. Галилея занимал кафедру математики в Болонском…
Логарифм
Логарифм числа N по основанию а, показатель степени m, в которую следует возвести число а (основание Л.), чтобы получить N; обозначается logaN. Итак, m = logaN, если ам = N. Например, log10 100 = 2; log2 1/32 = - 5; loga 1 = 0, т. к. 100 = 102, 1/32 = 2-5, 1 = a0. При отрицательных а бесконечно много положительных чисел не имело бы действительных логарифмов, поэтому берётся а > 0 и а ¹ 1. Из свойств логарифмической функции вытекает, что каждому положительному числу соответствует при данном основании единств. действительный Л. (логарифмы отрицательных чисел являются комплексными числами). Основные свойства Л.:
loga(MN) = logaM + logaN;
logaM/N = logaM - logaN;
logaNk = k logaN;
loga logaN
позволяют сводить умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их Л., а возведение в степень и извлечение корня — к умножению и делению Л. на показатель степени или корня, т. е. к более простым действиям.
Когда основание а фиксировано, говорят об определённой системе Л. В соответствии с десятичным характером нашего счёта наиболее употребительны десятичные Л. (а = 10), обозначаемые lg N. Для рациональных чисел, отличных от 10k с целым k, десятичные Л. суть трансцендентные числа, которые приближённо выражают в десятичных дробях. Целую часть десятичного Л. наз. характеристикой, дробную — мантиссой. Так как lg(10kN) = k + lgN, то десятичные Л. чисел, отличающихся множителем 10k, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц Л., которые содержат лишь мантиссы Л. целых чисел (см. Логарифмические таблицы).
Большое значение имеют также натуральные Л., основанием которых служит трансцендентное число e = 2,71828...; их обозначают lnN. Переход от одного основания Л. к другому совершается по формуле logbN = logaN/logab, множитель 1/logab называется модулем перехода (перевода) от основания а к основанию b. Для перехода от натуральных Л. к десятичным или обратно имеем
lnN = IgN/lge, lgN = InN/ln10;
1/lge = 2,30258; 1/ln10 = 0,43429....
Историческая справка. Открытие Л. было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением астрономических выкладок. Авторы первых таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрической прогрессии и составленной из показателей степени её членов арифметической прогрессии. Эти зависимости, частично подмеченные ещё Архимедом (3 в. до н. э.), были хорошо известны Н. Шюке (1484) и немецкому математику М. Штифелю (1544). Первые логарифмические таблицы были составлены одновременно и независимо друг от друга Дж. Непером (1614, 1619) и швейцарским математиком И. Бюрги (1620). Важный шаг в теоретическом изучении Л. сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647), обнаруживший связь Л. и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление Л. бесконечным степенным рядом дано Н. Меркатором (1668), нашедшим, что
In(1+x) = x
Вскоре затем Дж. Грегори (1668) открыл разложение
ln .
Этот ряд очень быстро сходится, если М = N + 1 и N достаточно велико; поэтому он может быть использован для вычисления Л. В развитии теории Л. большое значение имели работы Л. Эйлера. Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень.
Термин "Л." предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь — отношение) и arithmos (число); в античной математике квадрат, куб и т. д. отношения а/b называются "двойным", "тройным" и т. д. отношением. Т. о., для Непера слова "lógu arithmós" означали "число (кратность) отношения", то есть Л. у Дж. Непера — вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Термин "натуральный логарифм" принадлежит Н. Меркатору, "характеристика" — английскому математику Г. Бригсу, "мантисса" в нашем смысле — Л. Эйлеру, "основание" Л. — ему же, понятие о модуле перехода ввёл Н. Меркатор. Современное определение Л. впервые дано английским математиком В. Гардинером (1742). Знак Л. — результат сокращения слова "Л." — встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц [напр., Log — у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log и 1. — Б. Кавальери (1632, 1643)].
Лит.: Маркушевич А. И., Площади и логарифмы, М. — Л., 1952; История математики, т. 2, М., 1970.